Analysis

Course goals

Zie onder vakinhoud.

Content

In de cursus Inleiding Analyse worden enkele fundamentele onderwerpen uit de analyse op Rⁿ behandeld. Sommige van deze onderwerpen zijn reeds aangeroerd bij de colleges Infinitesimaalrekening. Daar lag echter de nadruk op het werken en rekenen met de begrippen, terwijl hier de nadruk ligt op het begrijpen, formuleren en bewijzen. Op de werkcolleges zal geoefend worden in het bewijzen van resultaten en het helder en volledig opschrijven daarvan. Er worden in deze cursus ook nieuwe onderwerpen aangeboord die een andere kijk op de analyse geven dan de infinitesimaalrekening en die fundamenteel zijn voor een verdere opbouw van de analyse. Het is een verplicht vak voor alle wiskundestudenten en geeft een goede voorbereiding op colleges van niveau 2.
 
Leerdoelen: 
Onderwerpen die aan de orde komen zijn:

• limieten, continuiteit in Rⁿ
• differentieerbaarheid in R
• open en gesloten verzamelingen, taal der metrische ruimten
• volledigheid en Bolzano-Weierstrass in Rⁿ
• maximum- en minimumstelling voor continue functies
• middelwaardestellingen, Taylor met rest
• uniforme continuïteit in Rⁿ
• Riemann integreerbaarheid in R

Na afronding van de cursus kent de student:

• De taal der metrische ruimten.
• Open en gesloten verzamelingen.
• Limieten in metrische ruimten, in het bijzonder in Rn.
• Continuïteit van afbeeldingen tussen metrische ruimten.
• Differentieerbaarheid van functies op R.
• Volledige metrische ruimten, rij-compacte metrische ruimten.
• Volledigheid en Bolzano-Weierstrass in Rn.
• Maximum- en minimumstelling voor continue functies.
• Uniforme continuïteit, Lipschitzcontinuïteit.
• Middelwaardestellingen, Taylor met rest.
• Integreerbaarheid op intervallen in R.

Na afronding van de cursus kan de student:

• Wiskundige bewijzen in de analyse lezen en begrijpen.
• Zelf (eenvoudige) bewijzen geven.
• Limieten bepalen door toepassing van stellingen en waar nodig ook direkt vanuit de definitie.
• Topologische eigenschappen van deelverzamelingen van Rn gebruiken.
• Extrema van functies op Rn berekenen.
• Met inverse functies in R omgaan. 

Onderwijsvormen:
Er is twee keer per week een hoorcollege van twee uur. Daarnaast zijn er twee werkcolleges, ook van elk twee uur.

Toetsing:
Het eindcijfer voor het vak wordt bepaald op basis van het gemiddelde cijfer voor de 7 inleveropgaven (I) en het cijfer voor het eindtentamen (T). Het cijfer I telt voor 20% mee, het cijfer T voor 80%:
eindcijfer = 0,2 * I + 0,8 * T

Herkansing en inspanningsverplichting:
Je hebt aan de zogeheten “inspanningsverplichting” voor het vak voldaan als je aan minstens 1 van de bovengenoemde toetselementen deelgenomen hebt (dwz., minstens 1 inleveropgave ingeleverd of aan het eindtentamen deelgenomen). Daarmee krijg je automatisch een 4 als eindcijfer voor het vak en het recht om aan het hertentamen mee te doen. Bij deelname aan de herkansing komen de cijfers voor de inleveropgaven te vervallen, het eindcijfer is in dit geval gelijk aan het cijfer voor het hertentamen.