Complexe analyse

Het vak Functies en Reeksen bouwt voort op het vak Analyse. Het is een gebonden keuzevak, maar is voor vrijwel iedere richting binnen de wiskunde belangrijke voorkennis. Zie voor meer informatie over de studiepaden de studentenwebsite.
 
Inhoud: 
Centraal in dit college staat het thema dat functies beschreven kunnen worden door middel van reeksen, in het bijzonder machtreeksen en Fourierreeksen.

Ter voorbereiding daarop begint het college met de notie van uniforme convergentie. Daarbij worden functies opgevat als punten van een verzameling die voorzien  is van de uniforme metriek, en daarmee een metrische ruimte vormt, zodat we limieten kunnen nemen. Uniforme limieten van continue functies blijken weer continu  te zijn. Ook wordt de notie van uniforme convergentie van reeksen van functies bestudeerd.

Een eerste toepassing van deze notie ligt in de theorie van de machtreeksen. Daarmee blijken complexe functies beschreven te kunnen worden die complex differentieerbaar zijn. Met behulp van de Cauchy-Riemann vergelijkingen  wordt het begrip complexe differentieerbaarheid gerelateerd aan de in het college `Inleiding Analyse in Meer Variabelen' behandelde theorie van totale differentiatie.

Voor functies van een complexe variabele kunnen complexe lijnintegralen gedefinieerd worden. Uit de in `Inleinding Analyse in Meer Variabelen' behandelde homotopie-invariantie van de lijnintegralen van rotatievrije vectorvelden wordt een soortgelijke  stelling voor complex differentieerbare functies afgeleid: de stelling van Cauchy. Met deze stelling wordt bewezen dat een complex differentieerbare functie altijd lokaal als machtreeks kan worden gegeven. Ook wordt de hoofdstelling van de algebra bewezen, namelijk dat ieder complex polynoom van graad minstens één nulpunt (wortel) in het complexe vlak bezit. Tenslotte blijkt de stelling van Cauchy een fraai hulpmiddel om verscheidene oneigenlijke integralen uit te rekenen. 

In het laatste deel van het college wordt de theorie van de reeksen toegepast op Fourierreeksen (reeksen met als term $a_n \cos nx + b_n \sin nx$). Het blijkt dat iedere voldoend nette $2\pi$-periodieke functie van een reële variabele in zo'n Fourierreeks ontwikkeld kan worden. Een belangrijk hulpmiddel is het integraal-inproduct van dergelijke functies. Complexe e-machten geven ten aanzien van dat inproduct een oneindige orthonormale basis, en de Fourier-coëfficiënten worden geïnterpreteerd als componenten ten aanzien van de basis. In deze optiek wordt de stelling van Parseval opgevat als oneindige versie van de stelling van Pythagoras. Toegepast op een eenvoudige functie levert dit de volgende identiteit van Euler: $\frac{\pi^2}{6} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}.$ 

Onderwijsvormen:

Toetsing:
Vier maal leveren de deelnemers een opgave in die door de werkcollegeleiding wordt nagekeken. Er gelden strikte deadlines. De uitwerkingen worden individueel ingeleverd, maar het is toegestaan in kleine groepjes aan de opgaven te werken. Een uitwerking die een student inlevert moet zelf geschreven en in eigen woorden geformuleerd zijn. Overschrijven van (delen van) uitwerkingen of het door een andere student laten maken van uitwerkingen is plagiaat/fraude en zal gemeld worden bij de examencommissie. Het gemiddelde cijfer voor deze inleveropgaven bepaalt 20% van het
eindcijfer. Het cijfer voor het eindtentamen bepaalt de overige 80%. Het cijfer voor het eindtentamen moet minimaal een 5 bedragen om het vak te halen. Studenten die een 4 of meer hebben gehaald voor het vak maar voor de cursus zijn gezakt kunnen een hertentamen doen dat voor 100 % telt (d.w.z., de resultaten voor de inleveropgaven komen bij een eventueel hertentamen te vervallen).

 
Herkansing en inspanningsverplichting:
Studenten met een onvoldoende die zich ingespannen hebben voor de cursus mogen meedoen aan de herkansing.
 
Taal van het vak:
Het vak wordt in het Nederlands gegeven.